Линейные уравнения для 7 класса

Как решать линейные уравнения с одной переменной

Корень уравнения — число, при подстановке которого получается верное равенство. Решить уравнение — найти все его корни или показать, что их нет. Линейное уравнение с одной переменной имеет вид ax = b, где x — переменная, a и b — числа.

Уравнения, которые имеют одни и те же корни, называют равносильными; уравнения, не имеющие корней, тоже считают равносильными. Уравнение, равносильное данному, получится, если перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, или умножить (разделить) обе части на одно и то же число, не равное нулю.

Пример со скобками: 2(x − 3) + 5 = 9. Раскроем скобки: 2x − 6 + 5 = 9. Приведём подобные: 2x − 1 = 9. Прибавим 1 и разделим на 2: x = 5. Проверка: 2 · (5 − 3) + 5 = 9.

Пример с дробями: $\frac{\text{x}}{\text{4}}$ + $\frac{\text{x}}{\text{6}}$ = 5. Умножим обе части на 12: 3x + 2x = 60. Получаем 5x = 60 и x = 12. Умножать нужно каждое слагаемое, а не только дроби.

В уравнении ax = b при a ≠ 0 ровно один корень: x = $\frac{\text{b}}{\text{a}}$. Если a = 0, b ≠ 0, корней нет. Если a = 0 и b = 0, подходит любое число. Не дели на нулевой коэффициент.

Пример без корней: 2(x + 1) = 2x + 5 превращается в 2 = 5. Пример с бесконечно многими корнями: 2(x + 1) = 2x + 2 превращается в 2 = 2. Неверно считать x = 0 ответом в каждом случае, когда слагаемые с x исчезли.

Для текстовой задачи назови неизвестную величину и её единицу, вырази остальные величины через x, составь равенство, реши и проверь ответ по смыслу. В этой тренировке системы и уравнения с неизвестным в знаменателе не рассматриваются.

Перед составлением уравнения запиши, какие значения неизвестного допустимы по смыслу задачи: например, скорость пешехода не может быть отрицательной. Корень уравнения, который этому условию не удовлетворяет, ответом задачи не является.

Вернуться к тренажёру →

Составь модель и объясни решение

Запиши переменную, ограничения, выражение или уравнение и решение. Проверь ответ по исходному условию. Развёрнутый ответ проверяет преподаватель по критериям.

1. Прокат велосипеда стоит 150 рублей за оформление и ещё 40 рублей за каждый час. За прокат заплатили 350 рублей. Составь выражение стоимости для x часов, уравнение и найди время проката. Укажи допустимые значения x; проверь стоимость по условию.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Переменная означает время проката в часах. Постоянная плата учитывается один раз. 40x = 200, x = 5; 150 + 40 · 5 = 350. Ограничение принимается в любой обоснованной записи: x > 0, x ≥ 0 для выражения стоимости или «x — натуральное число», если оплачиваются только целые часы. Критерии: названы переменная и ограничение, составлены выражение и уравнение, время найдено и проверено с единицей. Равносильные записи допустимы.

   Проверь: Стоимость 150 + 40x рублей; 150 + 40x = 350; x = 5 ч. Допустимые значения: x > 0.

2. В первой коробке было в три раза больше карандашей, чем во второй. Из первой переложили 8 карандашей во вторую; количества стали одинаковыми. Выбери неизвестное, составь уравнение и найди первоначальное количество в каждой коробке. Объясни, почему нужно учитывать изменение обеих коробок.

   Разбор и ориентиры для проверки

   x — положительное целое число, 3x ≥ 8. После перекладывания первая теряет 8, вторая получает 8. 2x = 16, x = 8. Проверка: 24 − 8 = 8 + 8 = 16. Критерии: переменная и смысл обеих частей уравнения, оба первоначальных количества, проверка. Другой выбор переменной допустим.

   Проверь: Пусть x — первоначальное число во второй коробке. 3x − 8 = x + 8; x = 8. Первоначально 24 и 8 карандашей.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вопросы о тренировке