Обыкновенные дроби: задания для 5–6 классов

Общий знаменатель, сокращение и смешанные числа

По федеральной программе и учебнику все четыре действия с обыкновенными дробями и смешанные числа изучаются в 5 классе. В 6 классе дроби повторяют: общий знаменатель ищут через наименьшее общее кратное, выражения становятся длиннее. Новое в 6 классе — выражения с обыкновенными и десятичными дробями и отрицательные числа; такие группы помечены «дополнительно, 6 класс». Выбирай раздел по пройденной теме.

Дробь записывается числителем над знаменателем: $\frac{\text{5}}{\text{7}}$ — пять седьмых. Умножение или деление числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число сохраняет значение дроби. При сокращении оба результата должны быть целыми числами. Например, $\frac{\text{20}}{\text{28}}$ = $\frac{\text{5}}{\text{7}}$ после деления на 4.

Для $\frac{\text{2}}{\text{9}}$ и $\frac{\text{5}}{\text{12}}$ наименьший общий знаменатель — НОК (9; 12) = 36. Дополнительные множители: 36 : 9 = 4 и 36 : 12 = 3. Поэтому $\frac{\text{2}}{\text{9}}$ = $\frac{\text{8}}{\text{36}}$, $\frac{\text{5}}{\text{12}}$ = $\frac{\text{15}}{\text{36}}$. Сумма равна $\frac{\text{23}}{\text{36}}$. Можно взять другой общий знаменатель, затем сократить результат.

При сложении и вычитании дробей с общим знаменателем выполняют действие с числителями, а знаменатель сохраняют. Складывать знаменатели нельзя. Сокращают общие множители всего числителя и знаменателя; вычёркивать одинаковые слагаемые внутри сумм нельзя.

Смешанное число — сумма целой и дробной частей: $2\frac{\text{3}}{\text{5}}$ = 2 + $\frac{\text{3}}{\text{5}}$ = $\frac{\text{13}}{\text{5}}$. Перед умножением или делением его удобно представить неправильной дробью. При делении умножают на обратную дробь; делитель не может быть нулём.

При вычитании может понадобиться представить одну целую дробью: $4\frac{\text{1}}{\text{4}}$ − $1\frac{\text{2}}{\text{3}}$ = $4\frac{\text{3}}{\text{12}}$ − $1\frac{\text{8}}{\text{12}}$ = $3\frac{\text{15}}{\text{12}}$ − $1\frac{\text{8}}{\text{12}}$ = $2\frac{\text{7}}{\text{12}}$. Временная запись с неправильной дробной частью помогает выполнить вычитание; в ответе дробная часть правильная.

В выражении сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание. Действия одной ступени выполняют слева направо. Покажи промежуточные дроби, сократи результат и выдели целую часть, если это требуется.

Дополнительно, 6 класс. Обыкновенная и десятичная дроби могут обозначать одно и то же число. Если в выражении есть дроби обоих видов, сначала запиши их одинаково. Десятичную дробь всегда можно записать обыкновенной: 0,64 = $\frac{\text{64}}{\text{100}}$ = $\frac{\text{16}}{\text{25}}$. Обыкновенную дробь точно записать десятичной удаётся не всегда, например $\frac{\text{5}}{\text{6}}$; тогда вычисляй в обыкновенных дробях. Приближённое значение не заменяет точный ответ.

Дополнительно, 6 класс: в действиях с положительными и отрицательными числами сначала определи знак каждого промежуточного результата. Частное двух отрицательных чисел положительно. Обратным действием проверь и значение, и знак ответа. Задания 6 класса помечены «Дополнительно, 6 класс» и встречаются также в наборах «Разные темы»; если в 5 классе такие действия ещё не проходили, выбирай отдельные группы.

Вернуться к тренажёру →

6 письменных работ с полным решением

Выполни на бумаге: укажи общий знаменатель и дополнительные множители, запиши равные дроби и промежуточные действия. Короткий ответ не заменяет проверку способа решения преподавателем.

1. Приведи $\frac{\text{3}}{\text{8}}$ и $\frac{\text{5}}{\text{12}}$ к наименьшему общему знаменателю. Укажи дополнительные множители, сравни дроби и найди их сумму.

   Разбор и ориентиры для проверки

   НОК (8; 12) = 24. Дополнительные множители 3 и 2, поэтому дроби равны $\frac{\text{9}}{\text{24}}$ и $\frac{\text{10}}{\text{24}}$. 9 < 10, значит первая дробь меньше. Сумма $\frac{\text{19}}{\text{24}}$ несократима. Проверяются оба преобразования, знак сравнения и сумма. Другой общий знаменатель допустим в промежуточном решении, но в условии требуется назвать наименьший.

   Проверь: $\frac{\text{3}}{\text{8}}$ < $\frac{\text{5}}{\text{12}}$; сумма $\frac{\text{19}}{\text{24}}$.

2. Вычисли $5\frac{\text{2}}{\text{9}}$ − $2\frac{\text{5}}{\text{6}}$. Покажи способ с выделением одной целой и проверь результат сложением.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Общий знаменатель 18: $5\frac{\text{4}}{\text{18}}$ − $2\frac{\text{15}}{\text{18}}$ = $4\frac{\text{22}}{\text{18}}$ − $2\frac{\text{15}}{\text{18}}$ = $2\frac{\text{7}}{\text{18}}$. Проверка: $2\frac{\text{7}}{\text{18}}$ + $2\frac{\text{15}}{\text{18}}$ = $4\frac{\text{22}}{\text{18}}$ = $5\frac{\text{2}}{\text{9}}$. Нужно показать, куда перешла одна целая, и обратное действие; решение только через неправильные дроби даёт верный ответ, но не демонстрирует запрошенный способ.

   Проверь: $2\frac{\text{7}}{\text{18}}$

3. Вычисли ($1\frac{\text{3}}{\text{5}}$ + $\frac{\text{7}}{\text{10}}$) : $1\frac{\text{1}}{\text{4}}$ − $\frac{\text{2}}{\text{5}}$. Запиши порядок действий и результат смешанным числом.

   Разбор и ориентиры для проверки

   1) Скобки: $\frac{\text{8}}{\text{5}}$ + $\frac{\text{7}}{\text{10}}$ = $\frac{\text{23}}{\text{10}}$. 2) Деление: $\frac{\text{23}}{\text{10}}$ : $\frac{\text{5}}{\text{4}}$ = $\frac{\text{23}}{\text{10}}$ · $\frac{\text{4}}{\text{5}}$ = $\frac{\text{46}}{\text{25}}$. 3) Вычитание: $\frac{\text{46}}{\text{25}}$ − $\frac{\text{10}}{\text{25}}$ = $\frac{\text{36}}{\text{25}}$ = $1\frac{\text{11}}{\text{25}}$. Проверяются порядок, обратная дробь, сокращение и правильная дробная часть ответа.

   Проверь: $1\frac{\text{11}}{\text{25}}$

4. От верёвки длиной $6\frac{\text{1}}{\text{2}}$ м отрезали $1\frac{\text{3}}{\text{4}}$ м, затем $2\frac{\text{2}}{\text{3}}$ м. Сколько метров осталось? Составь выражение и проверь ответ, сложив длины всех трёх частей.

   Разбор и ориентиры для проверки

   $6\frac{\text{1}}{\text{2}}$ − ($1\frac{\text{3}}{\text{4}}$ + $2\frac{\text{2}}{\text{3}}$) = $\frac{\text{78}}{\text{12}}$ − ($\frac{\text{21}}{\text{12}}$ + $\frac{\text{32}}{\text{12}}$) = $\frac{\text{25}}{\text{12}}$ = $2\frac{\text{1}}{\text{12}}$ м. Проверка: $\frac{\text{21}}{\text{12}}$ + $\frac{\text{32}}{\text{12}}$ + $\frac{\text{25}}{\text{12}}$ = $\frac{\text{78}}{\text{12}}$ = $6\frac{\text{1}}{\text{2}}$. Допускается последовательное вычитание. Проверяются модель, вычисления, единица длины и восстановление исходного целого.

   Проверь: $2\frac{\text{1}}{\text{12}}$ м.

5. Дополнительно, 6 класс. Найди точную сумму $\frac{\text{2}}{\text{3}}$ + 0,25. Объясни, какую запись дробей выбрал и почему. Проверь, что сумма больше каждого слагаемого, но меньше 1.

   Разбор и ориентиры для проверки

   0,25 = $\frac{\text{1}}{\text{4}}$, поэтому $\frac{\text{2}}{\text{3}}$ + $\frac{\text{1}}{\text{4}}$ = $\frac{\text{8}}{\text{12}}$ + $\frac{\text{3}}{\text{12}}$ = $\frac{\text{11}}{\text{12}}$. Почему так: $\frac{\text{2}}{\text{3}}$ нельзя точно записать десятичной дробью, а 0,25 легко записать обыкновенной, поэтому считаем в обыкновенных дробях. Принимается и другой точный способ, если выбор записи объяснён. Числитель 11 больше 8 и 3, но меньше 12. Полный ответ содержит обоснование выбора записи, точное преобразование, сложение и все три сравнения. Округление не заменяет точное значение.

   Проверь: $\frac{\text{11}}{\text{12}}$.

6. Дополнительно, 6 класс. Ученик вычислил (−0,8 + $\frac{\text{1}}{\text{5}}$) : (−0,3) и получил −2. Проверь вычисление, объясни ошибку в знаке и выполни проверку умножением.

   Разбор и ориентиры для проверки

   $\frac{\text{1}}{\text{5}}$ = 0,2; в скобках −0,8 + 0,2 = −0,6. Частное (−0,6) : (−0,3) положительно и равно 2. Проверка: 2 · (−0,3) = −0,6. Полный ответ отдельно определяет знак суммы и частного и проверяет деление.

   Проверь: 2.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вопросы о тренировке