Квадратные уравнения для 8 класса

Как решать квадратные уравнения

Квадратное уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. В этой тренировке ищем действительные корни. До применения формулы перенеси все слагаемые в одну часть и приведи подобные; коэффициенты выпиши вместе со знаками.

Если b = 0 или c = 0, уравнение неполное. Пример: x² − 5x = 0. Вынесем x: x(x − 5) = 0. Корни 0 и 5. Делить на x нельзя без отдельного рассмотрения x = 0: так можно потерять корень.

Если x² = 9, корни −3 и 3. Если x² = 0, корень один — 0. Если x² = −9, действительных корней нет. Арифметический квадратный корень $\sqrt{\text{9}}$ равен 3, но уравнение x² = 9 имеет два корня.

Дискриминант D = b² − 4ac. При D > 0 уравнение имеет два корня: x = $\frac{\text{−b ±}\sqrt{\text{D}}}{\text{2a}}$. При D = 0 — один корень x = $\frac{\text{−b}}{\text{2a}}$. При D < 0 корней нет. Знаменатель 2a относится ко всему числителю.

Пример: 2x² − 5x + 2 = 0. D = (−5)² − 4 · 2 · 2 = 9. Тогда x = $\frac{\text{5 ± 3}}{\text{4}}$: корни $\frac{\text{1}}{\text{2}}$ и 2. Подстановка каждого корня должна дать ноль.

По теореме Виета для действительных корней x₁ + x₂ = −$\frac{\text{b}}{\text{a}}$, x₁ · x₂ = $\frac{\text{c}}{\text{a}}$. Для приведённого уравнения x² + px + q = 0 это −p и q. Пример: у x² − 6x + 8 = 0 корни 2 и 4, их сумма 6, произведение 8.

Если спрашивают больший или меньший корень, реши уравнение и введи этот корень числом. В заданиях на полное множество корней сначала реши в тетради, затем выбери вариант, где указаны все корни: выбор проверяет ответ, но не запись формулы и ход решения — для этого есть письменные задания. Дискриминант, число корней и ответы в задачах тоже вводятся числом.

Набор не включает уравнения с параметром, биквадратные и дробно-рациональные уравнения, а также формулу корней для чётного второго коэффициента (через D/4): все уравнения решаются по общей формуле. В текстовой задаче отбирай корень по смыслу: например, длина должна быть положительной.

Если квадратный трёхчлен ax² + bx + c имеет корни x₁ и x₂, то ax² + bx + c = a(x − x₁)⁠(x − x₂): старший коэффициент a остаётся множителем. Например, уравнение 5x² + 15x − 20 = 0 имеет корни −4 и 1, поэтому 5x² + 15x − 20 = 5(x + 4)⁠(x − 1); проверка — раскрытие скобок. Если D = 0, корни совпадают и трёхчлен равен a(x − x₁)². Если у уравнения ax² + bx + c = 0 нет действительных корней, разложить трёхчлен на линейные множители с действительными коэффициентами нельзя: корень каждого такого множителя был бы корнем уравнения.

Вернуться к тренажёру →

Письменные решения: уравнения, трёхчлен и модель

Реши на бумаге полностью: выпиши коэффициенты со знаками, вычисли дискриминант, примени формулу корней и сделай проверку подстановкой или по теореме Виета. Ответ записывай точными числами.

1. Реши уравнение 5x² − 20x = 0. Объясни, почему нельзя делить обе части уравнения на x.

   Разбор и ориентиры для проверки

   5x(x − 4) = 0. Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю: x = 0 или x = 4. Деление на x потеряло бы корень 0. Критерии: разложение на множители, оба корня, объяснение про деление на x.

   Проверь: x = 0 или x = 4.

2. Реши уравнение 3x² − 27 = 0 двумя способами: через равенство x² = a и разложением на множители по формуле разности квадратов.

   Разбор и ориентиры для проверки

   1) 3x² = 27, x² = 9, x = −3 или x = 3. 2) 3(x² − 9) = 0, 3(x − 3)⁠(x + 3) = 0, x = 3 или x = −3. Критерии: оба способа доведены до обоих корней.

   Проверь: x = −3 или x = 3.

3. Реши уравнение x² − 6x + 5 = 0 по формуле корней. Выпиши коэффициенты, найди D, запиши корни и проверь их по теореме Виета.

   Разбор и ориентиры для проверки

   a = 1, b = −6, c = 5. D = (−6)² − 4 · 1 · 5 = 16. x = $\frac{\text{6 ± 4}}{\text{2}}$: x = 1 или x = 5. Проверка: 1 + 5 = 6 = −b, 1 · 5 = 5 = c. Критерии: коэффициенты со знаками, D, формула, оба корня, проверка.

   Проверь: x = 1 или x = 5.

4. Реши уравнение 2x² + 3x − 5 = 0. Ответ запиши точными числами.

   Разбор и ориентиры для проверки

   D = 3² − 4 · 2 · (−5) = 49. x = $\frac{\text{−3 ± 7}}{\text{4}}$: x = 1 или x = −$\frac{\text{10}}{\text{4}}$ = −$\frac{\text{5}}{\text{2}}$. Критерии: D, формула корней, сокращение дроби, оба корня.

   Проверь: x = −$\frac{\text{5}}{\text{2}}$ или x = 1.

5. Реши уравнение x² − 4x + 1 = 0. Корни запиши точно, с квадратным корнем.

   Разбор и ориентиры для проверки

   D = 16 − 4 = 12, $\sqrt{\text{12}}$ = $2\sqrt{\text{3}}$. x = $\frac{\text{4 ± 2}\sqrt{\text{3}}}{\text{2}}$ = 2 ± $\sqrt{\text{3}}$. Критерии: вынесение множителя из-под корня, деление всего числителя на 2, оба корня без приближённых вычислений.

   Проверь: x = 2 − $\sqrt{\text{3}}$ или x = 2 + $\sqrt{\text{3}}$.

6. Периметр прямоугольника 34 см, площадь 60 см². Составь квадратное уравнение и найди стороны прямоугольника. Объясни, почему подходят оба корня.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Полупериметр 17 см. Если одна сторона x см, то другая (17 − x) см: x(17 − x) = 60, x² − 17x + 60 = 0. D = 289 − 240 = 49, x = 5 или x = 12. Оба корня положительны и дают один и тот же прямоугольник со сторонами 5 см и 12 см. Проверка: 5 · 12 = 60, 2 · (5 + 12) = 34.

   Проверь: Стороны 5 см и 12 см.

7. Разложи трёхчлен 3x² + 4x − 4 на множители через корни соответствующего уравнения. Сохрани старший коэффициент, проверь результат раскрытием скобок и запиши разложение без дробей.

   Разбор и ориентиры для проверки

   D = 4² − 4 · 3 · (−4) = 16 + 48 = 64, x = $\frac{\text{−4 ± 8}}{\text{6}}$: корни $\frac{\text{2}}{\text{3}}$ и −2. Поэтому 3x² + 4x − 4 = 3(x + 2)⁠(x − $\frac{\text{2}}{\text{3}}$); множитель 3 вносим во вторую скобку: (x + 2)⁠(3x − 2). Проверка: (x + 2)⁠(3x − 2) = 3x² − 2x + 6x − 4 = 3x² + 4x − 4. Критерии: дискриминант, оба корня, сохранённый старший коэффициент и обратная проверка; порядок множителей не важен.

   Проверь: 3(x + 2)⁠(x − $\frac{\text{2}}{\text{3}}$) = (x + 2)⁠(3x − 2).

8. Мяч подбросили вертикально вверх с земли. Через t с после броска его высота над землёй равна h = 20t − 5t² метров. Составь квадратное уравнение и найди, через сколько секунд мяч был на высоте 15 м. Объясни смысл обоих корней и проверь их подстановкой.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Перенесём 15 в левую часть и разделим уравнение на −5: t² − 4t + 3 = 0, D = 16 − 12 = 4, t = $\frac{\text{4 ± 2}}{\text{2}}$. На землю мяч вернётся, когда 20t − 5t² = 0, то есть при t = 4 с; оба корня меньше 4, значит, в эти моменты мяч ещё в воздухе. Проверка: 20 · 1 − 5 · 1² = 15 и 20 · 3 − 5 · 3² = 60 − 45 = 15. Критерии: уравнение по условию, оба корня, объяснение подъёма и спуска с проверкой допустимости и подстановка. Сопротивление воздуха в модели не учитывается.

   Проверь: 20t − 5t² = 15, t² − 4t + 3 = 0; t = 1 с или t = 3 с. Подходят оба корня: в 1 с мяч проходит высоту 15 м при подъёме, в 3 с — при спуске.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вопросы о тренировке